问题补充:
单选题已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,对任意x、y满足f(x-y)=f(x)?g(y)-g(x)?f(y),且f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)=A.-1B.1C.2D.-2
答案:
A解析分析:先采用赋值法,求出f(0)=0,g(0)=1,然后在已知等式中取x为0,即可证出函数f(x)是奇函数,最后取x=1,y=-1代入已知等式,结合前面求出的数据,变形整理可得f(1)[g(-1)+g(1)+1]=0,结合已知条件可得g(1)+g(-1)=-1.解答:令x=y=0,代入已知等式得f(0)=f(0)g(0)-g(0)f(0)=0,得f(0)=0,再令y=0,x=1,代入已知等式得f(1)=f(1)g(0)-g(1)f(0),可得f(1)[1-g(0)]=g(1)f(0)=0,结合f(1)≠0得1-g(0)=0,g(0)=1再令x=0,代入已知等式得f(-y)=f(0)g(y)-g(0)f(y),将f(0)=0,g(0)=1代入上式,得f(-y)=-f(y),∴函数f(x)为奇函数.再令x=1,y=-1代入已知等式,得f(2)=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)∵f(-1)=-f(1),∴f(2)=f(1)[g(-1)+g(1)]又∵f(2)=-f(-2)=-f(1)∴-f(1)=f(1)[g(-1)+g(1)],即f(1)[g(-1)+g(1)+1]=0∵f(1)≠0,∴g(-1)+g(1)+1=0得g(1)+g(-1)=-1故选A点评:本题以一个特殊函数为例,叫我们求一对互为相反数的自变量所对应的函数值的和,考查了函数的奇偶性和赋值法在抽象函数中的应用等知识,属于基础题.抽象函数性质的探究,赋值是一个主要的手段