问题补充:
如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3,与y轴负半轴交于点C.下面五个结论:①2a+b=0;②a+b+c>0;③4a+b+c>0;④只有当a=时,△ABD是等腰直角三角形;⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个.那么,其中正确的结论是________.
答案:
①④
解析分析:先根据图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3确定出AB的长及对称轴,再由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:①∵图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3,
∴AB=4,
∴对称轴x==1,
即2a+b=0;
②由抛物线的开口方向向上可推出a>0,而>0
∴b<0,
∵对称轴x=1,
∴当x=1时,y<0,
∴a+b+c<0;③∵图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3,
∴当x=2时y<0,
∴4a+2b+c<0,
又∵b<0,
∴4a+b+c<0;④要使△ABD为等腰直角三角形,必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半;
D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值.
当x=1时,y=a+b+c,
即|a+b+c|=2,
∵当x=1时y<0,
∴a+b+c=-2
又∵图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3,
∴当x=-1时y=0即a-b+c=0;
x=3时y=0.
∴9a+3b+c=0,
解这三个方程可得:b=-1,a=,c=-;⑤要使△ACB为等腰三角形,则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,
当AB=BC=4时,
∵AO=1,△BOC为直角三角形,
又∵OC的长即为|c|,
∴c2=16-9=7,
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,
∴c=-,
与2a+b=0、a-b+c=0联立组成解方程组,解得a=;
同理当AB=AC=4时
∵AO=1,△AOC为直角三角形,
又∵OC的长即为|c|,
∴c2=16-1=15,
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,
∴c=-
与2a+b=0、a-b+c=0联立组成解方程组,解得a=;
同理当AC=BC时
在△AOC中,AC2=1+c2,
在△BOC中BC2=c2+9,
∵AC=BC,
∴1+c2=c2+9,此方程无解.
经解方程组可知只有两个a值满足条件.
故正确的有①④.
点评:二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定:
(1)a由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a>0;否则a<0;
(2)b由对称轴和a的符号确定:由对称轴公式x=判断符号;
(3)c由抛物线与y轴的交点确定:交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0;
(4)b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定:
①2个交点,b2-4ac>0;
②1个交点,b2-4ac=0;
③没有交点,b2-4ac<0.
如图 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为D 其图象与x轴的交点A B的横坐标分别为-1 3 与y轴负半轴交于点C.下面五个结论:①2a+b=0;②a+