已知函数（x＞0 x≠1）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若不等式对任意实数x恒成立

问题补充：

已知函数（x＞0，x≠1）．

（1）求函数f（x）的极值；

（2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．

答案：

解：（1）函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），，…（3分）

令f（x）=0，解得x=e，列表

x（0，1）（1，e）e（e，+∞）f（x）--0+（0，1）单调递减单调递减极小值f（e）单调递增由表得函数f（x）的单调减区间为（0，1），（1，e），单调减区间为（e，+∞）；

所以极小值为f（e）=e，无极大值．

（2）当x≤0时，对任意a≠0，不等式恒成立；

当x＞0时，在两边取自然对数，得，

1°当0＜x≤1时，lnx≤0，当a＞0，不等式恒成立；如果a＜0，lnx＜0，alnx＞0，不等式等价于，

由（1）得，此时，不等式不恒成立．

2°当x＞1时，lnx＞0，则a＞0，不等式等价于，由（1）得，此时的最小值为e，得0＜a＜e．…（14分）

综上：a的取值范围是0＜a＜e．

解析分析：（1）先确定函数的定义域，再求导函数，确定函数的单调区间，从而确定函数f（x）的极值；（2）当x≤0时，对任意a≠0，不等式恒成立；当x＞0时，在两边取自然对数，得，再分0＜x≤1，x＞1，进行讨论，进而可求a的取值范围．

点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，同时考查分类讨论的数学思想，有综合性．

已知函数（x＞0 x≠1）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若不等式对任意实数x恒成立 求实数a的取值范围．