问题补充:
已知函数f(x)=asinxcosx+acos2x-a+1(a>0)的定义域为R,当时,f(x)的最大值为2
(1)求a的值
(2)用五点法作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的图象
(3)写出该函数的单调递增区间及对称中心的坐标.
答案:
解:(1)f(x)=asinxcosx+acos2x-a+1
=+-+1
=
=a(sin2xcos+cos2xsin)+1
=asin(2x+)+1
当,则
∴当,f(x)有最大值为,
又∵f(x)的最大值为2,∴=2,
解得:a=2.
(2)由(1)知
令分别取0,,π,,2π,则对应的x与y的值如下表
x-0π2πy13-113画出函数在区间[-,]的图象如下图
(2)
令,k∈Z
解得,
∴函数的增区间为.
令Z,解得x=,k∈Z,
∴函数的对称中心的横坐标为,k∈Z,
又∵函数的图象是函数的图象向上平移一个单位长度得到的,
∴函数的对称中心的纵坐标为1.
∴对称中心坐标为(,1)k∈Z
解析分析:(1)先利用二倍角公式和辅助角公式把函数f(x)化为y=Asin(ωx+φ)+h的形式,利用正弦函数的性质求出最大值,又因为已知函数的最大值为2,就可求出参数a的值.(2)利用“五点法”作图,令分别取0,,π,,2π,求出对应的x与y的值,就可得到函数在一个周期内的五个关键点的坐标,画出见图.(3)令属于正弦函数的增区间,解出x的范围即为函数f(x)的单调增区间.令=kπ,k∈Z,解得x的值为函数对称中心的横坐标,因为函数的图象是函数的图象向上平移一个单位长度得到的,所以函数的对称中心的纵坐标为1.就可得到函数的对称中心.
点评:本题主要考查应用三角函数的公式把三角函数化简为y=Asin(ωx+φ)+h的形式,再求图象与性质,属于三角函数的综合题.
已知函数f(x)=asinxcosx+acos2x-a+1(a>0)的定义域为R 当时 f(x)的最大值为2(1)求a的值(2)用五点法作出该函数在长度为一个周期的闭