本次中考数学压轴题分享，带来的是运用相似三角形解决四边形折叠问题。
01
梯形中的翻折问题
例题、如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；
（3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．
【分析】（1）证明△ABP∽△PCE，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式；
（2）根据（1）中求出的y与x的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；
（3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出BP的长度．解答中提供了三种解法，可认真体会．
参考答案
【考点】函数自变量的取值范围，梯形，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质。
02
矩形中的翻折问题
例题、如图1，在矩形 ABCD中，AB =8 ，AD=10 ， E 是CD边上一点，连接 AE ，将矩形ABCD 沿 AE 折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC 的延长线与点G．
（1）求线段CE的长；
（2）如图2，M，N 分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DAM ，设AM=x ， DN=y，①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；
②是否存在这样的点 M，使△DMN 是等腰三角形？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）根据矩形的性质可得AD=BC=10，AB=CD=8，∠B=∠BCD=90°.利用折叠的性质可得AD=AF=10，DE=EF， 设EC=x， 则 DE=EF=8-x ，利用勾股定理可求出BF=6，从而可得CF=BC-BF=4， 在 Rt△EFC 中，利用勾股定理可得（8-x）=x+4 ，求出x值即可.
（2）① 如图2中， 利用平行线分线段成比例，可求出CG=6，继而求出BG=16.利用勾股定理分别求出AG、DG的长.根据两角分别相等的两个三角形相似，可证△ADM∽△GMN，可得AD：MG=AM：GN ，代入数据，从而求出y与x的函数关系式，利用二次函数的性质即可求出y 的最小值.
②分两种情况讨论，如图3-1中，当MN=MD 时 ； 如图3-2中，当MN=DN 时，作MH⊥DG
于 H，分别利用相似三角形的判定与性质来求出x的值.
参考答案
【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质 。
