例题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x^2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）.
（1）求抛物线的解析式.
（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值.
（3）当PH＝2时，求点P的坐标.
【考点】待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，锐角三角函数的定义
【分析】（1）将点C,A的坐标分别代入抛物线y＝﹣x^2+bx+c 即可求出b,c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2） △AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO， 即：tan∠FEB＝0.25 或4， 根据正方形的性质得出 FE＝OE＝a， EB＝4﹣a， 从而根据正切函数的定义列出方程，求解就可得出a值；
（3）首先根据抛物线与x轴交点的坐标特点求出点B的坐标， 分别延长CF、HP交于点N， 根据同角的补角相等得出 ∠FPN＝∠NFB ，从而利用AAS判断出 △PNF≌△BEF ，推出 N＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a， 从而根据点的坐标与图形的性质用含a的式子表示出点P、H的坐标，然后根据两点间的距离公式得出﹣4a^2+6a+4﹣4＝|2|， 求解就可并检验即可得出a的值，从而得出点P的坐标.
练习
如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣0.75x+3的图像与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x^2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E.
（1）求抛物线的函数表达式 ；
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点.连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标.
【考点】相似三角形的性质，二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据直线与纵坐标交点的坐标特点，求出点A,B的坐标，将点A,B的坐标分别代入 抛物线y=-x^2+bx+c 即可列出关于b,c的二元一次方程组，求解得出b,c的值，从而求出抛物线的解析式；
（2） 存在.如图1，过点B 作BH⊥CD于H ，根据点的坐标与图形的性质，用含t的式子表示出点C,D,E,H的坐标，根据两点间的距离公式表示出EC,AC,DH,DE的长，然后分 ①当△BDE∽△ACE 时， ∠BDE=∠ACE=90°， 根据相似三角形对应边成比例得出BD：DE=AC：CE， 根据比例式建立方程，求解并检验得出t的值从而求出点D的坐标； ②当△DBE∽△ACE 时， ∠BDE=∠CAE ， 由BH/DH=tan∠BDE=tan∠CAE=CE/AC，即：BH·AC=CE·DH建立方程，求解并检验得出t的值，从而求出点D的坐标，综上所述即可得出答案；
（3）根据矩形的性质得出DE∥FG，DE=FG，根据点的坐标与图形的性质，用含m、n的式子表示出点D,E,F,G的坐标，根据两点间的距离公式表示出DE,FG,的长，从而即可列出方程，求解并检验得出 m+n=4 ， 过点 G作GK⊥CD 于K，则 GK//AC ，根据等角的同名三角函数值相等得出GK/EG=cos∠EGK=cos∠BAO=AO/AB ，从而列出方程用含m,n的式子表示出EG的长，进而根据平行四边形的周长计算方法建立函数关系式，根据函数的性质就可解决问题.
