已知函数f（x）=x4-4x3+ax2-1在区间[0 1]上单调递增 在区间[1 2]上单调递减（1）求

问题补充：

已知函数f（x）=x4-4x3+ax2-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减

（1）求a的值；

（2）在区间[-2，2]上，试求函数f（x）的最大值和最小值．

答案：

解：（1）∵f（x）=x4-4x3+ax2-1，

∴f′（x）=4x3-12x2+2ax，

∵f（x）在[0，1]上递增，在[1，2]上递减，

∴x=1是f（x）的极值点，

所以f′（1）=0，

即4×13-12×12+2a×1=0．

解得a=4，经检验满足题意，

所以a=4．

（2）由（1）得f（x）=x4-4x3+4x2-1，

∴f′（x）=4x3-12x2+8x，

令f′（x）=4x3-12x2+8x=0，得x1=0，x2=1，x3=2，

∵x1=0，x2=1，x3=2∈[-2，2]，

且f（-2）=16+32+16-1=63，

f（0）=0-0+0-1=-1，

f（1）=1-4+4-1=0，

f（2）=16-32+16-1=-1，

∴在区间[-2，2]上，函数f（x）的最大值是63，最小值是-1．

解析分析：（1）根据函数f（x）=x4-4x3+ax2-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，知道x=1是f（x）的极值点，求导，令f′（1）=0，可得a的值．（2）由（1）得f′（x）=4x3-12x2+8x，令f′（x）=4x3-12x2+8x=0，得x1=0，x2=1，x3=2，由此能求出在区间[-2，2]上，函数f（x）的最大值和最小值．

点评：考查利用导数研究函数的单调性和最值，体现了数形结合的思想方法，属中档题．

已知函数f（x）=x4-4x3+ax2-1在区间[0 1]上单调递增 在区间[1 2]上单调递减（1）求a的值；（2）在区间[-2 2]上 试求函数f（x）的最大值和