动与静相互依存、相互转化，“化动为静”是解答动态探索综合题的好方法．从动点、动线到动形，从移动、折叠到旋转，从运动变化（动）中寻求图形间（静）的位置关系，逐一探究考证、建立起关系式．熟练地驾驭这一类问题的规律，才能降服这一类动态问题的拦路虎．
【上海模拟】如图１，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=4, AD=3，sinC＝4/5．P是边CD上的一点（点P不与点C、D重合），以PC为半径的 ⊙P与边BC相交于点C和点Q．
（1）如果BP⊥CD，求CP的长；
（2）如果PA＝PB，试判断以AB为直径的⊙O与⊙P的位置关系；
（3）联结PQ，如果△ADP与△BQP相似，求CP的长。
一、思路点拨
1．先解读直角梯形ABCD，求得BC的长．
2．如果PA＝PB，那么点P在DC的中点，圆心距OP是梯形的中位线．通过计算、比较得到两圆的半径和等于圆心距．
3．探究△ADP与△BQP相似，寻找∠ADP＝∠BQP是关键的一步．然后按照对应边成比例分两种情况列方程．
4.动点效果图：拖动点P运动，可以体验到，当P运动到AB的垂直平分线上时，两圆外切．还可以体验到，△ADP与△BQP相似存在两种情况．
二、满分答题
（１）如图２，作DH⊥BC，垂足为H．
在Ｒt△DCH中，DH＝4，sinC＝4/5, 所以DC＝５，CH＝３．
因此BC＝BH＋CH＝６．
在Ｒt△BCP中，BC＝６，cosC犆＝3/5，所以CP＝18/5.
（２）如图３，如果PA＝PB，那么P在AB的垂直平分线上，此时P是DC的中点．因此⊙P的半径为2.5，圆心距OP是梯形的中位线，OP＝4.5．
三、思路拓展
把第（3）题的两个结果x＝5/2、x＝18/5 与第（1）、（2）题的结果对照，我们会发现：
当x＝5/2时，P在DC的中点，两圆外切，两个三角形全等（如图６）．
当X＝18/5时，BP⊥DC．如图7，这时，由AD＝3，BC＝6，可知AD是△FBC的中位线，AH是△FBP的中位线，AH垂直平分FP．容易得到∠PBQ＝∠F＝∠APD．因此两个三角形相似．
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